பகா எண்கள் மற்றும் பகு எண்கள் (Prime and Composite Numbers)

கணிதத்தின் அடிப்படை கட்டுமானக் கற்களாக பகா எண்கள் மற்றும் பகு எண்கள் விளங்குகின்றன. எண்களின் தன்மையை அறிந்துகொள்வது, போட்டித் தேர்வுகளில் கேட்கப்படும் எண் வரிசை, காரணிப்படுத்துதல் மற்றும் மீ.பொ.வ (HCF), மீ.சி.ம (LCM) போன்ற கணக்குகளை எளிதில் தீர்க்க உதவும். இந்த அத்தியாயத்தில், நாம் பகா மற்றும் பகு எண்களின் நுணுக்கங்களை விரிவாகக் காண்போம்.

பகா எண்கள் (Prime Numbers) - விளக்கம்

ஒரு எண் 1 மற்றும் அதே எண்ணால் மட்டுமே மீதியின்றி வகுபடுமானால், அந்த எண் 'பகா எண்' என்று அழைக்கப்படுகிறது. எளிமையாகச் சொன்னால், ஒரு பகா எண்ணிற்கு சரியாக இரண்டு காரணிகள் மட்டுமே இருக்கும். ஒன்று '1', மற்றொன்று 'அந்த எண்'.

பகா எண்களின் முக்கிய பண்புகள்:

• மிகச்சிறிய பகா எண் 2 ஆகும்.
• 2 மட்டுமே இரட்டைப்படை பகா எண் ஆகும். மற்ற அனைத்து பகா எண்களும் ஒற்றைப்படை எண்கள்.
• 1 என்பது பகா எண்ணும் அல்ல, பகு எண்ணும் அல்ல. ஏனெனில் பகா எண்ணிற்கு இரண்டு காரணிகள் இருக்க வேண்டும், ஆனால் 1-க்கு ஒரே ஒரு காரணிதான் உண்டு.
• எண் 0 பகா எண்ணாகக் கருதப்படுவதில்லை.

பகு எண்கள் (Composite Numbers) - விளக்கம்

ஒரு எண் 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர, வேறு எந்த எண்களாலும் மீதியின்றி வகுபடுமானால், அது 'பகு எண்' எனப்படும். அதாவது, இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட காரணிகளைக் கொண்ட எண்களே பகு எண்கள் ஆகும்.

பகு எண்களின் முக்கிய பண்புகள்:

• மிகச்சிறிய பகு எண் 4 ஆகும்.
• அனைத்து இரட்டைப்படை எண்களும் (2-ஐத் தவிர) பகு எண்களே.
• ஒரு பகு எண்ணை பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுத முடியும் (எ.கா: 12 = 2 × 2 × 3).

பகா எண்களை கண்டறியும் முறை (Eratosthenes Sieve)

ஒரு குறிப்பிட்ட எண் வரம்பிற்குள் உள்ள பகா எண்களைக் கண்டறிய 'ஈரட்டோஸ்தீனஸ் சல்லடை' (Sieve of Eratosthenes) முறை பயன்படுகிறது. இது மிகவும் எளிமையான மற்றும் துல்லியமான முறையாகும்.

1. முதலில் 1 முதல் 100 வரையிலான எண்களை ஒரு அட்டவணையில் எழுதவும்.
2. 1-ஐ நீக்கிவிடவும் (ஏனெனில் அது பகா எண்ணும் அல்ல, பகு எண்ணும் அல்ல).
3. 2-ஐ வட்டமிட்டு, 2-ன் மடங்குகளை (4, 6, 8...) நீக்கவும்.
4. 3-ஐ வட்டமிட்டு, 3-ன் மடங்குகளை (6, 9, 12...) நீக்கவும்.
5. இவ்வாறு அடுத்தடுத்த பகா எண்களின் மடங்குகளை நீக்கினால், இறுதியில் மீதமிருக்கும் எண்கள் அனைத்தும் பகா எண்கள் ஆகும்.

பகு எண் மற்றும் பகா எண் - ஒப்பீடு

சார்பு பகா எண்கள் (Co-Prime Numbers)

இரண்டு எண்களின் பொதுவான காரணி '1' ஆக மட்டுமே இருந்தால், அந்த எண்கள் 'சார்பு பகா எண்கள்' எனப்படும். இந்த எண்கள் தனித்தனியாக பகா எண்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

உதாரணம்: 8 மற்றும் 9-ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்.

• 8-ன் காரணிகள்: 1, 2, 4, 8
• 9-ன் காரணிகள்: 1, 3, 9
• பொதுவான காரணி: 1 மட்டும்.

எனவே, 8 மற்றும் 9 சார்பு பகா எண்கள் ஆகும்.

பகா எண்களின் வகைகள்

1. இரட்டைப் பகா எண்கள் (Twin Primes)

இரண்டு பகா எண்களுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் 2 ஆக இருந்தால், அவை 'இரட்டைப் பகா எண்கள்' எனப்படும். எ.கா: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19).

2. பகா எண் இணை (Prime Triplet)

மூன்று பகா எண்கள் (p, p+2, p+6) அல்லது (p, p+4, p+6) என்ற அமைப்பில் இருந்தால் அது பகா எண் இணை எனப்படும். (3, 5, 7) மட்டுமே இதற்கான ஒரே உதாரணமாகும்.

பகா எண்கள் மற்றும் காரணிப்படுத்துதல்

எந்தவொரு பகு எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்கலாக மாற்ற முடியும். இது 'பகா காரணிப்படுத்துதல்' (Prime Factorization) எனப்படும். இது எண்களின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.சி.ம காண பெரிதும் உதவுகிறது.

உதாரணம்: 60-ஐ பகா காரணிப்படுத்துதல்

60 = 2 × 30

60 = 2 × 2 × 15

60 = 2 × 2 × 3 × 5

இங்கு 2, 3, 5 ஆகிய அனைத்தும் பகா எண்கள் ஆகும்.

தேர்வுக்கான பயிற்சிகள்

போட்டித் தேர்வுகளில் பகா எண்கள் தொடர்பாக பின்வரும் வினாக்கள் அடிக்கடி கேட்கப்படுகின்றன:

1. 1 முதல் 100 வரை எத்தனை பகா எண்கள் உள்ளன? (விடை: 25)
2. பின்வருவனவற்றில் எது பகா எண் அல்ல? (கேள்விக்கான விருப்பங்களை பகு எண்களாகக் கொடுத்து பகா எண்களுடன் ஒப்பிடச் சொல்வார்கள்).
3. தொடர்ச்சியான பகா எண்களின் கூடுதல் அல்லது வித்தியாசம் சார்ந்த கணக்குகள்.

இந்த அடிப்படை அறிவைக்கொண்டு, எந்தவொரு எண் சார்ந்த சிக்கலையும் நீங்கள் எளிதாக அணுக முடியும். பகா எண்களை மனப்பாடம் செய்வதை விட, அவற்றின் தன்மையை புரிந்துகொள்வது நீண்ட காலத்திற்கு நினைவில் இருக்க உதவும்.

முடிவுரை

பகா எண்கள் மற்றும் பகு எண்கள் பற்றிய அறிவு, எண்கணிதத்தின் அடித்தளமாகும். பகா எண்களின் வரிசையை மனப்பாடம் செய்து, பகு எண்களைக் கண்டறியும் முறையைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம், நீங்கள் கணிதப் பகுதியில் அதிக மதிப்பெண்களைப் பெற முடியும். தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யுங்கள், வெற்றி நிச்சயம்.